Conferenza matematica di Fabrizio Metta

Riceviamo e pubblichiamo

Breve viaggio intorno ai significati della matematica
Università della Terza Età
(Fabrizio Metta)
Una teoria matematica non può considerarsi completa finché non
sia stata resa tanto chiara da poterla spiegare al primo uomo che
s’incontra per la strada.

Ma chi l’ha detto che la matematica è una materia noiosa, arida,
difficile,astratta? Renderla divertente, stimolante, piena di fascino e
persino poetica è lo scopo dei bravi insegnanti.
La maggior parte degli amanti della matematica sono stati spinti
verso questa scienza soltanto dalla sua straordinaria bellezza.
Sono stati catturati dallo stupore che la sua funzionalità ha suscitato
in loro e dalla delizia del suo incredibile sviluppo. Desiderano
sapere ciò che hanno ammirato per fare quelle cose che all’inizio
non erano in grado di spiegare e trarre piacere nel sorprendere gli
altri, così come essi stessi furono sorpresi.
Jacques Ozanam (Matematico francese 1640-1717)
Da giovane avevo una forte passione per un aspetto dello studio
della matematica: dedicavo molto tempo alla risoluzione di
problemi, quasi come se fosse una sfida tra me ed il quesito
proposto.
Ho insegnato matematica e fisica per quasi quaranta anni, sempre
con entusiasmo giovanile e con la consapevolezza di non fare un
lavoro ma un piacevole gioco.
Con gli anni ho pensato che spiegare solo teoremi o insegnare
tecniche risolutive era riduttivo e non faceva cogliere agli allievi lo
scopo di questa disciplina (forse il matematico non ha uno scopo
nelle sue scoperte ma si diverte e non si preoccupa delle possibili
applicazioni).
Sono stato affascinato dalla teoria dei numeri e dalla storia della
matematica: niente nasce all’improvviso ma da un lento sviluppo.
Tutto mi è sempre apparso semplice e devo anche ringraziare
centinaia di studenti che per molti anni mi hanno “adottato” e
sopportato; qualcuno chiamava “diavolerie” le curiosità
matematiche che proponevo.
Mi hanno dato tanto amore (silenzioso) molto di più di quel poco
che ricevevano; in pensione quello che scopro resta confinato nella
mia mente.
Sono ancora tanto ignorante e mi manca il tempo per riempire gli
enormi buchi delle mie conoscenze matematiche.
Però, tutto sommato, mi sono divertito tanto nel fare quello che mi
piaceva, che rifarei nella seconda, terza …vita.
Perché studiare matematica?
Lo studio della matematica abitua alla riflessione e al ragionamento,
stimola le capacità d’intuizione e lo spirito di ricerca, ha funzione
educativa del pensiero, abitua alla chiarezza espositiva e precisione
di linguaggio, sviluppa le capacità logiche e di astrazione, affina le
capacità di sintesi, abitua a descrivere la realtà nei suoi vari aspetti
e a considerare criticamente informazioni e ipotesi.
La matematica ha profondo legami con l’arte, la musica e altre
forme espressive; è una disciplina indispensabile per tutta la ricerca
scientifica e tecnologica.
Nessuna scienza mi sembra più facile, più utile e più bella della
matematica.
La matematica è più facile di ogni altra scienza.
Ed invero: quale altra scienza si occupa di verità più elementari,
poiché essa non ne presuppone nessun altra, mentre ogni altra
presuppone la matematica? In quale altra scienza ci sono
argomentazioni così convincenti ed esaurienti?
Quale altra scienza conduce a risultati più sicuri e più agevolmente
controllabili?...Quando affermo che la matematica è più facile d’ogni
altra scienza, io non ignoro e non dimentico quanto essa riesca
difficile ai più: io dubito che costoro, benché siano i più,possano
formarsi una solida cultura in qualsiasi altro ramo dello scibile.
La matematica è più bella d’ogni altra scienza; infatti in quale altra
scienza meglio rifulge lo splendore del vero?
Ho detto che la matematica è più utile d’ogni altra scienza; ed infatti
quale altra scienza fornisce cognizioni tanto universali nel tempo e
nello spazio, aiuto valido in molte altre scienze?
Ma la matematica è universalmente utile, oltre e forse più per la
verità che essa fa conoscere, che per i metodi di ricerca che essa
adopera.
Nessun altro studio richiede meditazione più pacata: nessun altro
meglio induce ad essere cauti nell’affermare, semplici e ordinati
nell’argomentare, precisi e chiari nel dire; e queste qualità sono
così rare che possono bastare da sole ad elevare, chi ne è dotato (
e tutti possono esserlo), al disopra della maggioranza degli uomini.
Da Elogio della matematica di A. Padoa
Un’idea originale non vale nulla se non viene comunicata
chiaramente. Non è altro che vapore e la testa di chi l’ha avuta è
come se fosse vuota. Molte persone hanno idee, intuizioni e
illuminazioni, ma pochi sono capaci di tradurle dal personale al
pubblico.
Quante grandi idee non hanno visto mai la luce del sole?
Quante rimarranno nell’oscurità di un cranio a causa della
mancanza di espressione?
Cartesio diceva “quando ci si occupa di materie trascendentali- e
nulla è più trascendentale della matematica- si deve essere
trascendentalmente chiari
Una dimostrazione non è importante per il finale, ma per il
procedimento che vi conduce, nella logica che lega le varie parti
in un tutto di armonioso. Un passaggio logico mancante può
rendere incerta una dimostrazione.
Sembra proprio che si nasca tutti con capacità matematiche
naturali. Le perdiamo, per qualche motivo, crescendo? Le lezioni di
matematica impartite a scuola riescono, per un motivo o per un
altro, a scacciarle dalla nostra mente? Possiamo riprendercele?
Keith Devlin
Che cos’è la matematica?
1. Quale idea si ha della matematica?
2. Perché ci si avvicina alla matematica? Oppure perché ci si allontana?
3. Perché dovremmo avvicinare altri alla matematica?
4. Che significa fare matematica?
6. Come è vista la matematica?
7. L’idea di matematica che abbiamo dipende da come è stata insegnata?
8. A che serve la matematica? La matematica deve servire a qualcosa?
9. Perché c’è paura per la matematica? Da dove salta fuori l’incomprensione per
la matematica?
10. Quali difficoltà si presentano nella trasmissione dei concetti matematici ?
Per i giovani che escono dalle superiori essenzialmente
- la matematica consiste in un puro meccanismo
- la matematica costruzione perfetta ormai terminata (si può ancora
fare qualche scoperta in questa disciplina?)
e si affronta la società, il mondo del lavoro, la vita quasi vantandosi di non
aver mai capito nulla di matematica (i dati in Italia sull’analfabetismo
matematico nella popolazione scolastica e postscolastica sono allarmanti)
Eppure mai come oggi c’è un forte bisogno di una cultura matematica
(capacità a ragionare e pensare, non somma di cognizioni)
“La matematica non deve considerarsi come un complesso di
cognizioni utili in sé perché applicabili ai bisogni della vita, ma
principalmente come un mezzo di cultura intellettuale, come
una ginnastica del pensiero diretta a sviluppare le facoltà del
ragionamento ed aiutare quel sano criterio che serve a
distinguere il vero da ciò che ne ha solo l’apparenza”.
Da cosa nasce la natura oscura della matematica? Perché la
matematica si presenta essenzialmente come estranea rispetto alla
concretezza della vita?
Un ostacolo insormontabile alla comprensione della
matematica è costituito dal linguaggio, con il suo rigido
formalismo.
Il linguaggio matematico è diverso da quello naturale e isolato
in modo autosufficiente, chiuso, indipendente: da qui
inevitabilmente nascono problemi per spiegare l’utilizzazione
effettiva e le applicazioni della matematica.
Matematica: spiegare, dimostrare, vedere, capire; logica o intuizione?
Ogni disciplina si basa su un’idea di spiegazione (ed è più o meno
chiaro che cosa si debba intendere per spiegazione, ragionamento
che aiuti nella comprensione dell’argomento che si vuole
studiare).
La matematica è in un certo senso essa stessa spiegazione nelle
altre discipline, o almeno è utile se non essenziale nelle altre
discipline nella loro ricerca di spiegazioni.
Sia nell’evoluzione del pensiero matematico, sia nella crescita
cognitiva di ognuno di noi, inizialmente si vede (o si impara a
vedere) una figura, o un completamento di figura, poi si impara a
vedere una struttura astratta (idea) e a riconoscere la somiglianza
che c’è tra strutture.
In particolare, nell’evoluzione del pensiero matematico , sono state
seguite contemporaneamente due direzioni:
• utilizzo della matematica come strumento da utilizzare per le
attività dell'uomo
• studio della matematica come costruzione logica indipendente
dalle sue applicazioni.
I due aspetti sono fondamentali e influenzano la finalità principale
della matematica:
• sviluppa le facoltà sia intuitive che logiche;
• educa ai procedimenti di calcolo, ma anche ai processi di
formazione dei concetti;
• esercita a ragionare;
• sviluppa le attitudini sia analitiche che sintetiche.
• l'abitudine alla precisione di linguaggio;
• la capacità di ragionamento coerente ed argomentato
L'indicazione metodologica più importante nell’avvicinarsi alla
matematica è quella di "calare" i metodi matematici nel mondo
reale, senza comunque trascurare l'aspetto formale.
Partire da situazioni problematiche concrete e facilmente intuibili
per arrivare all'individuazione e definizione dello strumento
matematico utilizzabile per la risoluzione del problema.
Le situazioni problematiche devono essere comprensibili.
L'obiettivo è quello di portare alla costruzione di definizioni,
enunciati e congetture da inquadrare successivamente in una
teoria.
A tal fine, la funzione dell’insegnante (o di chiunque voglia condurre
alla scoperta della matematica) non è più quella di spiegare la
disciplina vista come una costruzione statica, ma l'insegnante
diventa il tutor degli studenti.
Si passa dalla comunicazione unidirezionale al dialogo, alla
creazione di situazioni didattiche, da un percorso lineare ad un
percorso a rete.
La lezione non è più preconfezionata, ma può prendere diverse
direzioni.
L'insegnante stimola gli studenti con un problema e
successivamente osserva e interagisce con loro; gli input non
possono essere prestabiliti ma sono funzione delle risposte degli
studenti.
Questo non significa che le lezioni non debbano essere preparate,
anzi richiedono un lavoro di progettazione lungo e meticoloso.
Che cos’è la matematica?
Sono riportate definizioni lette nel corso di quaranta anni
d’insegnamento, osservazioni sulla matematica, sul suo
insegnamento e sulla sua storia
La storia della matematica “sebbene in maniera spesso ottusa
e errata” ci aiuta a capire il presente e ci fa cogliere sia la
pericolosità e l’ambiguità sia la straordinaria bellezza e utilità
della scienza. Paola Covoni
L’uomo che comincia con certezza finisce nel dubbio, ma colui che
comincia nel dubbio finisce con certezza.
Francis Bacon (Bacone 1561-1626)
Trascurare la matematica è un’offesa al sapere, poiché chi la ignora
non può conoscere le altre scienze o le cose del mondo.
La matematica è la porta e la chiave delle scienze.
Roger Bacon
La matematica è stata ed è uno strumento insostituibile di
formazione al rigore ed al ragionamento, sviluppando l’intuito e lo
spirito critico;è una lingua internazionale e un caposaldo della
cultura che ha un ruolo importante per l’interazione con le altre
scienze.
La matematica: formule, teoremi e dimostrazioni che spesso
l’insegnante pone sulla lavagna come se nessuno li avesse creati,
come se fossero sempre esistiti.
Se prima di presentare un teorema o una formula ci si fosse
soffermato sul percorso fatto per arrivare alla loro scoperta forse
quel teorema o quella formula sarebbe apparsa più amichevole
Avendo insegnato per anni, notavo in molti studenti , pur essendo
abbastanza intelligenti, paura per la matematica. Si laureavano
senza aver compreso i numeri, l’aritmetica e l’algebra elementare.
La crisi finanziaria che si è abbattuta su di noi potrebbe essere
dipesa anche dalla diffusa mancanza di cognizioni matematiche in
chi si occupa di denaro; mi riferisco a banchieri, finanzieri, politici e
anche comuni cittadini. Forse le cose sarebbero andate
diversamente se avessero partecipato a un festival di matematica.
Per tutta la mia carriera la matematica è stato uno strumento
essenziale,ma anche bello e divertente. Spesso trovavo difficile
distinguere il lavoro dal gioco.
Sheldon Glashow, (premio Nobel per la fisica).
Se si vuole evitare che la matematica imparata a scuola sia per
molti il ricordo di una scienza arida e dogmatica, la strada da
percorrere è di far scoprire ai giovani la bellezza della matematica e
il divertimento che può procurare la risoluzione di un problema.
Un matematico, come un pittore o un poeta, apre dei sentieri. Se i
suoi durano più dei loro, è perché sono fatti con le idee.
G. H. Hardy, (matematico inglese 1887-1947)
“Quando vedo una bella dimostrazione dico che viene
direttamente dal Libro… Dio possiede un libro transfinito, che
contiene tutti i teoremi e le loro migliori dimostrazioni, e se è ben
intenzionato nei loro confronti (i matematici), mostra loro il Libro per
un momento. Potrai anche non credere in Dio, ma devi credere
che il Libro esiste.”
Paul Erdos (matematico ungherese nato.1913)
Se voi conoscete l’Unico, potete conoscere tutto. Gli zeri che si
pongono dopo 1 diventano centinaia di migliaia. Ma se voi
cancellate la cifra 1 non resta niente. La moltitudine ha valore solo
per l’Unico. Prima l’Unico e poi la moltitudine. Prima Dio e poi il
mondo e gli esseri individuali.
G. Ramakrishna. (mistico indiano 1836-1886)
L’abisso e le tenebre appartengono allo zero e al nulla, ma lo
Spirito di Dio con la sua Luce Onnipotente appartiene all’uno.
Gottfried Wilhelm Leibniz (matematico-filosofo ungherese 1646-
1716)
Il matematico sbircia dietro le spalle di Dio per trasmettere la
bellezza della Sua creazione al resto delle Sue creature.
Paul Erdös(matematico ungherese nato.1913)
La ricerca matematica eleva la mente umana a una maggiore
vicinanza con il divino più di ogni altro mezzo.
Hermann Weyl (matematico tedesco 1885-1955)
La matematica è l’alfabeto nel quale Dio ha scritto l’universo.
Galileo Galilei (1564-1642)
La cosa più difficile da comprendere dell’universo è il fatto stesso
che noi possiamo comprenderlo.
A. Einstein (1879-1955)
Si sostiene che l’arte non ha niente a che fare con la matematica,
che questa ultima costituisce una materia arida, non artistica, un
campo puramente intellettuale e di conseguenza estraneo all’arte.
Nessuna di queste due argomentazioni è accettabile perché l’arte
ha bisogno del sentimento e del pensiero che permette di ordinare i
valori emozionali perché da essi possa uscire l’opera d’arte.
Max Bill (Architetto-pittore-scultore 1908-1994)
Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e
l’amore (per….?).
Renato Caccioppoli (1904-1959)
La matematica è completamente libera nel suo sviluppo e i suoi
concetti trovano una limitazione soltanto nella necessità di non
essere in contraddizione con i concetti introdotti in precedenza da
precise definizioni… L’essenza della matematica sta nella sua
libertà.
CANTOR(matematico tedesco 1845-1918)
La vera matematica non ha nulla a che fare con le applicazioni o
con le procedure di calcolo che s’imparano a scuola. Studia
costrutti intellettuali astratti che, almeno finché se ne occupa il
matematico, non hanno alcun rapporto con il mondo fisico,
percepibile. I matematici trovano nei loro studi lo stesso godimento
che gli scacchisti traggono dagli scacchi. In realtà la conformazione
psicologica del vero matematico è vicina a quella del poeta, del
compositore o, in altre parole,di una persona interessata alla
creazione della bellezza e alla ricerca dell’armonia e della
perfezione. Insomma, si situa all’opposto dell’uomo pratico,
dell’ingegnere, del politico
B. A. Doxiadis
Se la matematica ha a che fare solo con applicazioni o con
calcoli complessi, allora al posto dei professori di matematica
potremmo utilizzare esperti di tecniche risolutive ma dopo qualche
decina di anni non ci sarebbe più sviluppo della
matematica……ossia avremo docenti di matematica ma non
matematici.
La presentazione della matematica nelle scuole dovrebbe essere
psicologica e sistematica, l’insegnante dovrebbe essere
diplomatico.
Dovrebbe tener conto dei processi psichici del ragazzo per capirne
gli interessi, quindi dovrebbe presentare le cose in una forma
intuitivamente comprensibile. La presentazione astratta è possibile
solo nelle classi superiori.
Felix Cristian Klein (matematico tedesco 1849-1925)
Io esorto a studiare matematica pur chi si accinga a divenire
avvocato o medico o economista o filosofo o letterato; perché io
credo e spero che non gli sarà inutile saper bene ragionare e
chiaramente esporre.
Alessandro Padoa (matematico 1868-1937)
La differenza tra noi e gli allievi che ci sono affidati sta solo in ciò,
che noi abbiamo percorso un più lungo tratto della parabola della
vita. Se gli allievi non capiscono, il torto è dell’insegnante
che non sa spiegare agli allievi. Né vale addossare la
responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi
come sono, e richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o
studiato sotto un'altra nomenclatura. Se l’insegnante tormenta i
suoi alunni, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio
contro sé e la scienza che insegna, non solo il suo
insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con tanti
piccoli nemici sarà per lui un tormento ( o, se sadico, un
godimento).
Giuseppe Peano (1858-1932)
Uno dei grandi malintesi sulla matematica che commettiamo nelle
nostre aule di scuola è che il professore sembra sempre conoscere
la risposta di ogni problema che si discute.
Ciò dà agli studenti l’idea che da qualche parte c’è un librone con
tutte le risposte corrette a tutte le domande interessanti, che gli
insegnanti ce l’hanno, e basterebbe trovarlo per avere tutto a posto.
Questo è davvero l’opposto della vera natura della matematica.
Leon Henkin (matematico americano 1921-2006)
Una dimostrazione matematica classica deve iniziare con una
serie di assiomi, asserzioni che possono essere assunte come
vere o che sono palesemente vere. Quindi, argomentando
logicamente, passo dopo passo e usando proposizioni già
dimostrate, è possibile arrivare ad una conclusione. Se gli
assiomi sono corretti e l’argomentazione logica impeccabile,
allora la conclusione sarà irrefutabile. La conclusione è il
teorema. Le dimostrazioni matematiche sono assolute.
Quando insegniamo agli studenti a usare una formula, li rendiamo
dipendenti da quella formula. Se invece insegniamo senza usare
formule, sviluppiamo nei nostri studenti l’abilità a creare le
cose da soli.
Oggi, la maggior parte dei libri di matematica è piena di simboli:
bisogna fare attenzione alla differenza tra i concetti matematici e la
notazione che usiamo per esprimerli.
La notazione matematica non è la matematica, come la
notazione musicale non è la musica.
Una pagina di musica rappresenta un pezzo musicale, ma la
musica è ciò che si ascolta quando le note stampate sulla pagina
vengono cantate o suonate da uno strumento musicale.
Lo stesso vale per la matematica: i simboli stampati sono solo una
rappresentazione della matematica.
Se vengono letti da qualcuno che ha studiato matematica, essi
diventano vivi- la matematica vive e respira nella mente di chi
legge.
Senza i suoi molti simboli, gran parte della matematica,
semplicemente, non esisterebbe.
Il riconoscimento dei concetti astratti e lo sviluppo di un linguaggio
appropriato per descriverli sono effettivamente i due lati di una
stessa medaglia.
L’aspetto linguistico o concettuale della matematica è spesso
trascurato, soprattutto nella nostra odierna cultura, che mette
l’accento sugli aspetti procedurali e di calcolo della matematica.
Anzi alcuni si lamentano per il fatto che la matematica sarebbe più
semplice e piacevole se non fosse per tutta quella notazione
astratta, che è un po’ come dire che Shakespeare sarebbe molto
più semplice da capire se solo fosse scritto in un inglese più
semplice.
Quando si va oltre i simboli, la matematica si riduce a un modo di
osservare il mondo: sia quello fisico, biologico e sociologico che
abitiamo sia quello interiore delle nostre menti e dei nostri pensieri.
Oggi sappiamo che nei bambini verso i 3-4 anni si sviluppa
l’intelligenza musicale.
L’ultima forma di intelligenza che si sviluppa è quella logicadeduttiva
e matematica: compare intorno ai 13-14 anni, quindi
alla fine delle scuole medie inferiori.
Ciò significa che per i primi 8 anni d’insegnamento sia lo studente
che l’insegnante fanno molta fatica. Sicuramente occorrerebbe
tenerne conto nei piani di studio e nei metodi di insegnamento.
Purtroppo lo si fa poco; per questo c’è spesso una reazione di
rigetto tra i ragazzi. In assoluto non credo che l’insegnamento delle
discipline scientifiche sia negativo.
L’insegnamento della matematica, però, è ancora molto noioso
e meccanico.
Prevale il metodo mnemonico, per cui a lezione si insegna un
teorema e poi all’esame si pretende che l’allievo ne abbia imparato
a memoria la dimostrazione. In altre realtà, come in Usa, si batte
molto di più sul chiodo della risoluzione dei problemi e sul fare
esercizi.
Così, mentre negli Stati Uniti all’Università si danno i compiti agli
studenti ogni settimana (corretti e giudicati dagli assistenti dei
professori), da noi la verifica della preparazione si risolve in
un’unica prova a fine corso (magari orale).
Piergiorgio Odifreddi